Вернуться в алфавитное меню

Множество

Множество. Родоначальником теории множеств считают Больцано. Он определил множества, конечные и бесконечные, понятие взаимно однозначного соответствия, понятие предельной точки последовательности («Парадоксы бесконечного», 1850). К понятию числовых множеств и множеств функций подводят некоторые работы Римана, Дюбуа Раймона, Дедекинда. Кантор сделал решительный шаг и начал изучать множества произвольной природы, он развил методы, свойственные современной теории множеств и поставил ее на строго научную основу. Уже в первой своей статье (1872) Кантор установил понятие мощности, эквивалентности множеств, доказал несчетность континуума. В цикле работ 1872—1883 г. им была развита теория вполне упорядоченных множеств. В течение 7—8 лет Кантор занимался рассмотрением множеств потому, что этого требовали задачи анализа: выяснение условий разложимости функции в тригонометрический ряд, доказательство существования трансцендентных чисел и др. Примерно в 1879 г. Кантор увидел, что рождается самостоятельная ветвь математики — учение о множествах. Кантор начинает публикацию цикла статьей (1879—1882), в которых подытожены и систематизированы результаты, полученные к этому времени. При этом по мере развития теории понятие множества претерпело значительные изменения. Интуитивное понимание привело к антиномиям теории множеств, полученным различными авторами к 1900 г. Математики разделились во взглядах на новую теорию. Гильберт говорил: «Из рая, созданного нам Кантором, нас никто уже не изгонит!». Учитель Кантора Кронекер и его друг Шварц заняли резко отрицательную позицию. Пуанкаре называл «канторизм» болезнью, от которой математика должна излечиться. Нервное напряжение, работа в условиях борьбы за признание, возможно, содействовали психическому заболеванию Кантора, от первого приступа которого он оправился (1884), но полностью излечиться не смог.

В 1904—1908 г. немецкий математик Цермело сформулировал первую систему аксиом теории множеств. Тем самым был найден выход из кризиса и направление дальнейшего развития теории. Началось триумфальное шествие теории множеств во всех областях математики. Кантор употреблял вначале термин Inbegriff — «совокупность», затем — Mannigfaltigkeit — «многообразие» и, наконец, Menge — «множество»; в настоящее время сохранилось его обозначение множества М = {m}, которое он ввел в 1895 г. Символика теории множеств заимствована в большой степени из математической логики. Так, Шредер в 1890 г. в «Algebra der Logik» («Алгебра логики») ввел знаки ⊂ и ⊃ для понятий «содержится», «включается» и «содержит», «включает», а также знак, похожий на современный Э — «принадлежит». Р. Грассман (брат математика Г. Грассмана) ввел в математической логике обозначение а‾ — отрицание, «не а». Пеано продолжил тенденцию (Буля, Шредера, Грассмана) использовать инструмент алгебры логики в математических доказательствах, и для того, чтобы не было путаницы между логическими и математическими символами, в работе «Calcolo geometrico» (1888) он ввел знаки ∩ и ∪ — дужки полуокружностей, из которых в дальнейшем получились знаки пересечения и объединения ⊂ и ⊃.

Кантор ввел современную терминологию: «множество упорядоченное и вполне упорядоченное», «всюду плотное», «нигде не плотное», «плотное в себе», «производное», «совершенное», «счетное». Русская терминология принадлежит Млодзиевскому, который впервые стал читать лекции по теории множеств в Московском университете. [65, с. 7]; [151, с. 294, 299, 301]; [142 вып. 1, с. 143]

Литература: Куратовский К, Мостовской А. Теория множеств. М., «Мир», 1970.; Cajori F. A history of mathematical notations. Chicago, 1928, 1930.; Успехи математических наук.

Источник - Александрова Н.В. Математические термины - справочник / Словарь математических терминов /
Рецензенты: канд. физ.-матем. наук доц. Р. С. Гутер и кафедра высшей математики МИСИ /

Яндекс.Метрика