Free Student HQ / FSHQ / "Штаб-Квартира свободного Студента"

Расчёт балок по несущей способности

В предыдущих статьях мы оценивали прочность балки путём сравнения наибольшего действующего в ней напряжения с допускаемым напряжением для принятого материала при изгибе. Условие прочности имело вид:

Величина допускаемого напряжения, как известно, получается делением разрушающего напряжения (временного сопротивления), определяемого из опыта, на принятый коэффициент безопасности (запас прочности). Для пластичных материалов, обладающих площадкой текучести (например, вязких сталей), коэффициент запаса обычно берётся не по отношению к временному сопротивлению, а по отношению к пределу текучести σT который, следовательно, считается пределом прочного сопротивления материала. Обозначим этот коэффициент через kT; тогда:

При этом предел прочного сопротивления балки будет определяться величиной изгибающего момента МT, при которой напряжения в крайних волокнах достигнут предела текучести. Если принять, что предел пропорциональности и предел текучести материала совпадают, то

Из сравнения (6.58) и (6.59) видно, что при расчёте по допускаемым напряжениям коэффициент запаса всей балки в целом принимается равным коэффициенту запаса в наиболее напряжённой её точке. Если это вполне правильно для растяжения бруса, когда напряжение достигает предела текучести во всех волокнах одновременно, то в применении к изгибу, расчёт по допускаемому напряжению не учитывает дополнительных гарантий прочности, которые даёт пластическая работа материала за пределом пропорциональности. Поэтому для материалов, обладающих площадкой текучести, правильнее, в расчётах на изгиб исходить из запаса прочности всей балки в целом. Такой способ расчёта называется расчётом балок по несущей способности. Он основывается на гипотезе Прандтля об идеальной упруго пластической работе материала (см. диаграмму, приведённую на фиг. 1), согласно которой материал до предела текучести следует закону Гука, а при дальнейшем возрастании деформации напряжение остаётся постоянным и равным пределу текучести σT. Кроме того, предполагается, что сечения бруса остаются плоскими (гипотеза Бернулли) не только в упругой, но и в упругопластической и пластической стадиях работы бруса.

Рассмотрим сначала балку симметричного сечения, например, двутавровую. Когда изгибающий момент в опасном сечении достигает величины
МT = T, нормальные напряжения ещё следуют линейному закону, и эпюра их имеет вид, показанный на фиг. 2, а. При этом несущая способность балки ещё не исчерпана, т. е. для дальнейшего возрастания деформаций и прогиба балки требуется увеличение нагрузки. Если мы будем увеличивать нагрузку, то напряжение крайних волокон будет оставаться постоянным, напряжение же в остальных волокнах будет увеличиваться и, достигнув предела текучести, также перестанет возрастать. Сечение разделится на три зоны: по краям будут зоны пластических деформаций и в середине — упругое ядро (фиг. 2, b). При этом всё время должно сохраняться условие эквивалентности внешних сил и сил в сечении балки:

на основании, которого можно определить границу упругой и пластической зон.

При дальнейшем росте нагрузки эта граница будет приближаться к нейтральной оси; в пределе материал по всей высоте сечения перейдёт в пластическую стадию работы. Эпюра напряжений, соответствующая этому моменту, показана на фиг. 2, с. Между зонами пластических деформаций имеется тонкая упругая прослойка, которую в расчёте можно не учитывать. Дальнейший рост деформаций будет уже происходить без увеличения

нагрузки. В опасном сечении образуется так называемый шарнир текучести или пластический шарнир, появление которого означает исчерпание несущей способности балки. Соответствующий (предельный) изгибающий момент обозначим через Мпр. Так как сечение симметрично, то моменты растягивающих и сжимающих усилий в сечении относительно нейтральной оси будут одинаковы. Поэтому предельный момент Мпр определится следующим образом:
где S0 — статический момент полусечения.

Если примем тот же запас прочности kT по отношению к предельному моменту Мпр, то получим допускаемый момент

Сравнивая с (6.59), видим, что при расчёте балок по несущей способности роль момента сопротивления W играет удвоенный статический момент 2S0 полусечения, обозначенный в формулах (6.60) и (6.61) для аналогии через Wпл и называемый пластически моментом сопротивления. Допускаемый изгибающий момент в этом случае увеличивается в отношении

где z — плечо внутренней пары.

Для прямоугольного сечения z = 2 / 3 * h; следовательно, допускаемый момент увеличивается в 1 ½; раза. Для двутавровых балок z = 0,84h ÷ 0,86h; значит, переход к расчёту по несущей способности позволяет повысить допускаемую нагрузку двутавровых балок на 14 ÷ 16%.

Если сечение несимметрично относительно главной центральной оси z (фиг 3, а), то при переходе в пластическую стадию работы нейтральная ось смещается и не проходит через центр тяжести. Действительно, из условия находим для предельного состояния (фиг. 3, b):

Интегралы представляют собой площади и F1 и F2 верхней и нижней половины сечения. Согласно (6.62) эти площади должны быть равны, т. е. нейтральная ось делит сечение на две равновеликие части. Значит, в несимметричном сечении она не совпадает с осью z.

При расчёте следует сначала определить положение нейтральной оси и найти относительно неё статические моменты и S1 и S2 верхней и нижней частей сечения. Тогда выражение (6.61) для допускаемого момента видоизменится следующим образом:

Развитие пластических деформаций и распространение их от крайних волокон внутрь сечения требует известного времени, и потому изложенный метод расчёта предполагает достаточно медленное возрастание нагрузки, т. е. статическое её воздействие. Нормы расчёта стальных конструкций предписывают расчёт по предельному моменту (6.60), пока только в прокатных балках и при статической нагрузке. При этом обращается внимание на закрепление балок от потери устойчивости плоской формы изгиба. В ряде случаев потеря устойчивости может произойти раньше, чем в опасном сечении образуется пластический шарнир, а потому допускаемая нагрузка тогда будет зависеть не от предельного момента (6.60), а от критической нагрузки, вызывающей потерю устойчивости.

Остановимся вкратце на касательных напряжениях, которые будут иметь место в упруго пластической стадии работы балки в соответствии с принятым законом распределения нормальных напряжений (фиг. 2, b). Выделим из балки тонкий слой двумя смежными сечениями 1—1 и 2—2; эпюры нормальных напряжений в этих сечениях показаны (для верхней половины балки на фиг. 4, а) в предположении, что М > 0 и получает положительное приращение dM на длине dx. Вследствие этого зона пластических деформаций в сечении 2—2 приближается к нейтральной оси на отрезок da, где а — полувысота упругого ядра в сечении 1—1.

Проводя горизонтальный разрез 3 — 3 в пластической зоне, убеждаемся, что касательное напряжение на нижней грани отделённого этим разрезом элемента равно нулю, так как нормальные усилия, действующие на боковые грани элемента, одинаковы и уравновешиваются.

Проводя горизонтальный разрез 3 — 3 в пластической зоне, убеждаемся, что касательное напряжение на нижней грани отделённого этим разрезом элемента равно нулю, так как нормальные усилия, действующие на боковые грани элемента, одинаковы и уравновешиваются.

Отсюда следует, что касательные напряжения имеют место лишь в пределах упругого ядра сечения, которое воспринимает полностью поперечную силу Q. Из фиг. 4, а легко усмотреть, что по мере приближения горизонтального сечения 3 — 3 от верха упругого ядра к нейтральному слою, разность dN нормальных усилий на боковых гранях элемента возрастает от нуля до наибольшего значения, определяемого произведением площади треугольника kmn на ширину сечения (предполагая последнюю в пределах упругого ядра постоянной).

Продолжив сторону kn этого треугольника до пересечения с верхней границей упругого ядра, заменим действительную эпюру klmn нормальных напряжений треугольной эпюрой klr. Это мы вправе сделать, так как добавляемая к эпюре площадь треугольника mnr является бесконечно малой высшего порядка (по сравнению с площадью kmn). После этого небольшого преобразования мы получим в точности ту же картину распределения нормальных напряжений по левой и правой граням упругого ядра, при выводе формулы касательного напряжения в упругой стадии работы бруса. Отсюда следует, что, проводя горизонтальное сечение 3 — 3 в пределах упругого ядра и повторив все выкладки, мы придём к той же формуле (6.24) касательного напряжения. Однако геометрические величины S и J будут теперь определяться размерами не всего Сечения, а только его упругого ядра:

Sa — статический момент той части площади ядра, которая расположена выше сечения 3 — 3. Формула (6.63) вполне применима к двутавровому сечению при расположении границы упругой и пластической зон в пределах стенки. Эпюра τ при этом имеет обычный параболический вид (фиг. 4, b). При расчёте стальных балок по предельному моменту (6.60) нормы предписывают проверку касательных напряжений в сечении с наибольшим изгибающим моментом; при этом τmах не должно превышать 0,4 [σи].


 

Сайт создан в 2012 г. © Все права на материалы сайта принадлежат его автору!
Копирование любых материалов сайта возможно только с разрешения автора и при указании ссылки на первоисточник.
Яндекс.Метрика