Free Student HQ / FSHQ / "Штаб-Квартира свободного Студента"

Постановка задачи численного решения уравнений Навье — Стокса

В настоящее время в связи с развитием электронно-вычислительной техники большое распространение нашли численные методы решения уравнений Навье — Стокса.

Сложность решения уравнений Навье — Стокса, в том числе и численного, заключается в том, что они обладают свойствами эллиптических уравнений по пространственным координатам так же, как и уравнения Эйлера для невязкого дозвукового течения. Это означает, что возмущения от любой точки потока или границы могут распространяться во всех направлениях: вниз по потоку, вверх по потоку, поперек потока. Однако по времени уравнения Навье — Стокса обладают свойствами параболических уравнений: на решение влияет только предыстория развития потока по времени, а будущее развитие потока по времени не влияет на решение в данное мгновение. Поэтому часто для решения уравнений Навье — Стокса используется метод установления. Этот метод заключается в следующем: для решения задачи о некотором стационарном течении, описываемом уравнениями Навье — Стокса с заданными граничными условиями, задается начальное поле течения и решается нестационарная задача для уравнений Навье — Стокса с теми же граничными условиями. Нестационарная задача решается до того момента времени, когда решение по времени перестанет изменяться в пределах заданной точности. Полученное решение принимается за решение стационарной задачи. Такой метод применим, если стационарное решение существует и оно единственное, что может не всегда выполняться, так как эти уравнения нелинейные.

Численное решение уравнений Навье — Стокса осложняется также тем, что эти уравнения нелинейные. Эту трудность обычно обходят путем линеаризации уравнений и применения итераций. При решении уравнений Навье — Стокса методом установления, продвигаясь по времени шаг за шагом, используют наиболее простой метод линеаризации уравнений — перенесение решения с предыдущего шага по времени на последующий или экстраполяцию решения по двум предыдущим шагам. Тогда на новом шаге по времени решение становится известным приближенно и все коэффициенты уравнений Навье — Стокса могут быть приближенно вычислены — уравнения становятся линейными, и для их решения может быть использован любой подходящий метод, например один из вариантов метода прогонки. После того, как получено новое решение на этом шаге по времени, коэффициенты уравнений могут быть снова вычислены и решение повторено. Такие итерации проводятся до тех пор, пока не сойдутся для данного момента времени.

Есть еще трудности в решении уравнений Навье — Стокса. Часто надо решить задачу обтекания тела безграничным потоком, а численное решение уравнений Навье — Стокса мы ищем обычно в ограниченной счетной области, и на границах счетной области надо поставить физически правильные граничные условия таким образом, чтобы достаточно точно смоделировать обтекание тела безграничным потоком. Аналогичная задача возникает при экспериментальном определении характеристик летательного аппарата в аэродинамической трубе, размеры которой ограничены. Можно попытаться решить задачу обтекания тел в неограниченной области путем введения новых переменных по пространству типа

Тогда для n = 1 получим:
при х = 0 у = 0, ξ = 0, η = 0;
при х = 1 у = 1, ξ = 0,5, η = 0,5;
при х = ∞ у = ∞, ξ = 1, η = 1.

Однако применение этих переменных приводит к появлению очень больших шагов по пространству на границах области (х, у) и к соответствующей потере точности решения. Чаще решение ищется в ограниченной области, и важно на этих расположенных на конечном расстоянии границах правильно поставить граничные условия. Рассмотрим, например, обтекание кругового цилиндра бесконечным потоком. Выделим некоторый контрольный объем ABCD (рис. 1).

Возможна постановка следующих граничных условий. Можно считать, что контрольный объем ABCD очень большой по сравнению с диаметром цилиндра. На всех границах можно пренебрегать влиянием цилиндра на течение и в качестве краевого условия поставить условие существования невозмущенного потока, как это было сделано Стоксом при аналитическом решении задачи об обтекании шара. Однако при численном решении задачи в ограниченной счетной области заранее допускается погрешность в определении интеграла количества движения по всей области. Проинтегрировав уравнение количества движения для выделенного объема при этих граничных условиях, получим, что изменения количества движения нет, т. е. цилиндр в вязком потоке сопротивления не имеет. Это неверно. Относительная погрешность расчета сопротивления цилиндра будет тем меньше, чем меньше отношение силы сопротивления цилиндра к количеству движения втекающей в контрольный объем жидкости. Чтобы уменьшить это отношение, надо отодвигать границы области дальше от цилиндра на такое расстояние, при котором изменение силы сопротивления цилиндра станет меньше заданной малой величины.

Можно поставить граничные условия другим способом. Рассмотрим решетку цилиндров и на границах ВС и AD поставим условие симметрии (рис. 2), т. е.

где ƒ = u, p, T.

При увеличении расстояния h между цилиндрами уменьшается его влияние на картину обтекания. При h → ∞ получим обтекание цилиндра бесконечным потоком.

Можно ввести аналогию с экспериментом в аэродинамической трубе — поместить цилиндр в канал с твердыми стенками; на соответствующих границах счетной области поставим условие прилипания. Как и в аэродинамической трубе, стенки канала должны быть расположены достаточно далеко от модели, чтобы их влияние мало сказывалось на результатах решения.

На выходе из контрольного объема на границе CD также надо поставить граничные условия. Часто используется «мягкое» условие

где ƒ = u, ϑ, p, T.

Это условие означает, что вблизи границы CD функции ƒ изменяются линейно. Граничные условия такого типа можно применять, когда решение вблизи границы гладкое, граница не пересекается крутыми волнами сжатия и контактными разрывами.

В качестве граничных условий могут быть также использованы более сложные уравнения, например уравнения Эйлера или параболизованные уравнения Навье — Стокса. В настоящее время существуют задачи, решенные численно с использованием полной системы уравнений Навье — Стокса. Большинство задач решалось методом установления. В частности решались следующие задачи:

1) о вязкой нерасчетной струе, истекающей в затопленное пространство или в спутный поток;
2) о вязкой струе, истекающей в вакуум;
3) об обтекании шара или цилиндра вязким газом при разных значениях числа Маха;
4) об обтекании выпуклого угла сверхзвуковым потоком вязкого газа;
5) о свободноконвективном течении жидкости в баке, подогреваемом снизу или сбоку;
6) о вязком течении между двумя вращающимися цилиндрами;
7) о трехмерном дозвуковом вязком нестационарном течении в плоском или круглом канале и др.

С использованием полной системы уравнений Навье — Стокса решено не так уж много задач. Появление более быстродействующих ЭВМ с большей оперативной памятью повышает возможности численного решения задач аэрогидромеханики с использованием полной системы уравнений Навье — Стокса.

Система уравнений Навье — Стокса для сжимаемого газа записана в безразмерном виде в цилиндрической системе координат:


 

Сайт создан в 2012 г. © Все права на материалы сайта принадлежат его автору!
Копирование любых материалов сайта возможно только с разрешения автора и при указании ссылки на первоисточник.
Яндекс.Метрика