Free Student HQ / FSHQ / "Штаб-Квартира свободного Студента"

Основные формулы для расчета растяжения (сжатия) бруса

Формулы σ = N / F; ε = ΔL / L; σ = Eε

излагают все три стороны задачи О растяжении и сжатии бруса и позволяют сделать из них ряд выводов, нужных при решении практических задач. Наиболее важный вывод заключается в том, что теперь мы можем вычислить абсолютное удлинение бруса, если известны размеры его L и F, материал, из которого он сделан (т. е. известно Е), и сила N, растягивающая или сжимающая его. Вычисление начнём, очевидно, с формулы: ΔL = εL
подставим сюда значение ε из формулы (2.4)
а значение σ возьмём из формулы (2.1); тогда получим:
Эта формула объединяет все три стороны задачи и выражает закон Гука в развёрнутой форме:
Удлинение бруса при растяжении (сжатии) пропорционально растягивающей (сжимающей) силе и длине бруса, обратно пропорционально модулю упругости и площади поперечного сечения бруса.

Величина EF в знаменателе последней формулы называется жёсткостью бруса при растяжении (сжатии).

При выводе основных формул сопротивления материалов необходимо всегда проверять размерности их правой и левой частей. В последней формуле размерность левой части есть (длина). Предлагается читателю проверить, такая ли размерность правой части? Какая размерность жёсткости EF ?

Вывод эта формула учитывает физическую сторону явления растяжения (сжатия) и потому позволяет решать разнообразные задачи физического характера о растяжении и сжатии брусьев. Задачи эти часто бывают статически неопределимыми, т. е. не могут быть решены на основании изучения одной только статической стороны их.

Приведём в качестве примера такую задачу. На два крюка А и В надо надеть стальной стержень; оказалось, что он ошибочно изготовлен длиной не L, как следовало бы, а короче на небольшую величину λ; при надевании на крюк его пришлось растянуть на эту величину. Какая растягивающая сила возникла при этом в стержне? Формула (2.1) не даёт нам ответа, так как в ней не известны пока N и σ.

Очевидно, необходимо исследовать, во-первых, геометрические свойства деформации бруса при его растяжении (геометрическая сторона) и получить из опыта связь между растягивающей силой и удлинением бруса (физическая сторона).

Статическая сторона её выражается в том, что брус находится в равновесии под действием двух равных и противоположных сил N, приложенных по концам, а в каждом сечении действует нормальное напряжение σ, выражаемое формулой (2.1).

Геометрическая сторона показывает, что удлинение ΔL от действия растягивающих сил должно быть равно: ΔL = λ (2.6).

Это уравнение и есть то дополнительное условие, которое надо добавить к условиям равновесия статики, чтобы задачу можно было решить до конца. Остаётся в уравнение (2.6) вместо ΔL подставить его выражение (предыдущая формула) через растягивающую силу N, где уже нами была учтена физическая сторона задачи:

Этот результат является синтезом всех трёх сторон задачи. Из него выясняется физический характер силы N, которая, как мы видим из формулы (2.8), зависит от длины стержня L, площади его поперечного сечения F и, наконец, от модуля упругости Е материала стержня. Важно отметить ещё одно свойство силы N, которая в нашей задаче являлась величиной статически неопределимой: сила эта будет тем больше, чем больше площадь поперечного сечения стержня и чем больше модуль упругости материала. Значит, чем более мощный стержень мы возьмём в данной задаче, тем большая сила в нём возникнет, и обратно. Это весьма общее свойство статически неопределимых задач, имеющее большое значение на практике.

От растягивающей силы N в формуле (2.8) легко перейдём к нормальному напряжению:

которое уже не зависит от площади сечения бруса, но возрастает с увеличением модуля упругости материала.

Рассмотрим ещё одну простую задачу, которая имеет много общего с только что решённой.

Стальной стержень длиной L защемлён своими концами в стены при некоторой температуре (фиг. 1); затем температура его понизилась на t°. Появятся ли в нём напряжения и каковы они будут?

Для обнаружения напряжения применим общий приём, т. е. 1) рассечём стержень, например у левого конца, 2) отбросим левую часть, 3) заменим действие её на правую часть неизвестной пока силой X, 4) запишем условия равновесия оставленной правой части, которая находится в равновесии под действием силы X и равной ей, но обратной по направлению реакции правой стены. Очевидно, что условие равновесия правой части не даёт достаточных данных для решения задачи; поэтому придётся 5) учесть условия деформации. Приступая к этому, заметим, что если бы сечение было сделано до понижения температуры, то после охлаждения стержня в месте разреза концы его разошлись бы на величину λ, равную сокращению длины стержня:
λ = lat, где а — коэффициент линейного расширения материала стержня.

Так как в действительности расхождения концов нет, то придётся к правой части приложить силу X такой величины, чтобы она уничтожила это расхождение. Если Δl будет удлинение стержня от действия силы X, то получим геометрическое условие деформации:

Остаётся использовать вывод из задачи о растяжении (физическая сторона), и тогда из (2.9) легко найдём искомую силу, а затем напряжения в стержне:

Читателю будет полезно проанализировать полученные результаты и выяснить, какие обстоятельства задачи не влияют на величину силы X и какие не влияют на величину напряжения σ, а также выяснить, как отзовётся на величине силы увеличение жёсткости стержня EF. σ Заметим, что если бы один из концов стержня был свободен от защемления и имел возможность свободно перемещаться, то в нём не появилось бы усилия X и он мог бы нести какую-либо полезную нагрузку без дополнительных температурных напряжений. σ Появление дополнительного усилия X заставляет увеличивать площадь сечения бруса и поэтому на практике стараются устраивать опирание концов брусьев так, чтобы они могли иметь перемещения, уменьшающие или полностью исключающие появление усилий от изменения температуры.

"КУРС СОПРОТИВЛЕНИЯ МАТЕРИАЛОВ"
М. М. ФИЛОНЕНКО-БОРОДИЧ, С. М. ИЗЮМОВ,
Б. А. ОЛИСОВ, И. Н. КУДРЯВЦЕВ, Л. И. МАЛЬГИНОВ
ПОД ОБЩЕЙ РЕДАКЦИЕЙ М. М. ФИЛОНЕНКО-БОРОДИЧ

 

Сайт создан в 2012 г. © Все права на материалы сайта принадлежат его автору!
Копирование любых материалов сайта возможно только с разрешения автора и при указании ссылки на первоисточник.
Яндекс.Метрика