Free Student HQ / FSHQ / "Штаб-Квартира свободного Студента"

История производной, функции, интеграла

Ключевым понятием математического анализа, начала которого изучают в школе, является понятие функции, границы, производной и интеграла.

Термин "функция" впервые предложил в 1692 г. выдающийся немецкий философе математик Готфрид Вильгельм Лейбиц (1646 - 1716) для характеристики разных отрезков, соединяющих точки некоторой кривой. Первое определение функции, которое уже н было связано с геометрическими представлениями, сформулировал Иоганн Бернулли (1667 - 1748) в 1718г. Позже, в 1748. несколько уточненное определение функции дал ученик И. Бернулли Леонард Эйлер (1707-1783). Эйлеру принадлежит символ функции f (х).

В определениях Бернулли и Эйлера функцию отождествляли с аналитическим выражением, которым она кажется. Эйлер считал также возможным задавать одну и ту же функцию на разных множествах различными аналитическими выражениями. Эти так называемые "Кусково - заданные функции" широко применяются на практике.

Уже во времена Эйлера стало ясно, что отождествление функции с ее аналитическим выражением сужает само понятие функции, поскольку, во-первых, одним и тем же выражением можно задать различные функции, во-вторых, не всегда функцию можно задать аналитически. Уже Эйлер предполагал возможность задания функции лишь графиком.

Дальнейшее развитие математического анализа и практических применений математики привел к расширению понятия функции. В 1834 г. выдающийся русский математик Н. И. Лобачевский (1792 - 1856) сформулировал определение функции, в основу которого была положена идея соответствия: "Общее понятие требует, чтобы функцией от х называть число, которое дается для каждого х и вместе с х постепенно меняется. Значение функции может быть задано или аналитическим выражением, или условием, которое подает средство испытания всех чисел и выбора одного из них; или, наконец, зависимость может существовать и оставаться неизвестной ".

Уже через три года немецкий математик Лежен Дрихле (1805 - 1859) сделал такое обобщение понятия функции: "y есть функция переменной x (на отрезке a ≤ x ≤ b), если каждому значению x соответствует вполне полное значение y, причем не важно, каким образом установлена эта соответствие - аналитической формулой, графиком, таблицей или даже просто словами ".

Во второй половине xıx ст .. после открытия теории множества к определению функции, кроме идеи соответствия, была привлечена идею множества, а потому современное определение функции формулируют так: "Соответствие между множествами x и y, при которой каждому элементу х множества Х соответствует определенный элемент у множества В, называют функцией" .

В xx ст .. произошло дальнейшее расширение понятия функции, вызванное нуждами физики. В 1930г. английский физик Поль Дирак (1902 - 1984 0 ввел понятие так называемой "дельта - функции", а в 1936г. русский математик и механик С. Л. Соболев (1908 - 1990) ввел более широкое понятие обобщенной функции, которое охватывает и дельта - функцию .

Следовательно, понятие функции продолжает развиваться и расширяться в соответствии с потребностями развития математической науки и ее практических применений.

Происхождение понятия границы, на котором зиждется весь математический анализ и корни которого уходят в глубокую древность, связанное с вычислением площадей криволинейных фигур, объемов тел, ограниченных кривыми поверхностями. Идею границы впервые использовался древним греческим математиком IV в. до н.э. Евдокс Книдский. Метод Евдокса, который был назван "метод исчерпывания", использовали Квклид, Архимед и другие ученые древнего мира.

Первое определение границы дал в середине XVII в. английский математик Джон Вал лес (1616 - 1703). Но тогда еще не было четкого понимания основных понятий, связанных с теорией границ. В частности, термин "бесконечно малая" понимали как указание на размер величины, а не характер ее изменения.

Термин "граница" и соответствующий символ lim впервые был введен английским математиком и механиком Исааком Ньютоном (1643 - 1727).

Строгое определение предела и непрерывности функции сформулировал в 1823 г. Французский математик Огюстен Луи Коши (1789 - 1857). Определение непрерывности функции еще раньше Коши сформулировал чешский математик Бернард Больцано (1781 - 1848). По этим определениями на базе теории действительных чисел были осуществлены строгое обоснование основных положений математического анализа.

Открытию походно и основ дифференциального исчисления предшествовали работы французского математика и юриста Пь'ера Ферма (1601 - 1665), который в 1629 г. предложил способы нахождения наибольших и наименьших значений функций, проведение касательных к произвольным кривых, фактически опирались на применение производных. Этому способствовали также работы Рене Декатра (1596 - 1650), разработавший метод координат и основы аналитической геометрии. Лишь в 1666 г. Ньютон и несколько позднее Лейбниц независимо друг от друга построили теорию дифференциального исчисления. Ньютон пришел к понятию производной, решая задачи о мгновенной скорости, а Лейбниц, - рассматривая геометрическую задачу о проведении касательной к кривой. Ньютон и Лейбниц исследовали проблему максимумов и минимумов функций. В частности, Лейбниц сформулировал теорему о достаточное условие роста и убывания функции на отрезке.

Эйлер в работе "Дифференциальное исчисление" Дифференциальное исчисление" (1755р.) различал локальный экстремум и крупнейшие и наименьшие значения функции на определенном отрезке. Он первый начал использовать греческую букву Δ для обозначения прироста аргумента ΔX = X2 - X1 и прироста функции ΔY = Y2 - Y1.

Обозначения производной у 'и f' (х) ввел французский математик Жозеф Луи Лагранж (1736 - 1813).

Интегральное исчисление и само понятие интеграла возникли из потребностей вычисления площадей плоских фигур и объемов произвольных тел. Идеи интегрального исчисления берут начало в работах древних математиков. Однако это свидетельствует "метод исчерпывания" Евдокса, который позже использовал Архимед в III в. до н. э Суть этого метода заключалась в том, что для вычисления площади плоской фигуры и, увеличивая число сторон многоугольника, находили границу, в которую направлялись площади ступенчатых фигур. Однако для каждой фигуры вычисления предела зависело от выбора специального приема. А проблема общего метода вычисления площадей и объемов фигур оставалась нерешенной. Архимед еще явно не применял общее понятие границы и интеграла, хотя в неявном виде эти понятия использовались.

В XVII в .. Иоганном Кеплером (1571 - 1630), открывший законы движения планет, была успешно осуществлена первая попытка развить идеи Архимеда. Кеплер вычислял площади плоских фигур и объемы тел, опираясь на идею разложения фигуры и тела на бесконечное количество бесконечно малых частей. Из этих частей в результате добавления состояла фигура, площадь которой известно и позволяющая вычислить площадь искомой. В отличие от Кеплера, итальянский математик Бонавентура Кавальери 9 1598 - 1647), пересекая фигуру (тело) параллельными прямыми (плоскостями), считал их лишениями любой - какой толщины, но добавлял эти линии. В и СТОРИЯ математик вошел так называемый "принцип Кавальери", с помощью которого вычисляли площади и объемы. Этот принцип получил теоретическое обоснование позже с помощью интегрального исчисления. Для площадей плоских фигур принцип Кавальери формулировали так: если прямые некоторого пучка параллельных прямых пересекают фигуры Ф1 и Ф2 уровне.

Идеи Кеплера и других ученых стали той почвой, на котором Ньютон и Лейбниц открыли интегральное исчисление. Развитие интегрального исчисления продолжили Эйлер и П. Л. Чебышева (1821 - 1894), разработавший способы интегрирования некоторых классов иррациональных функции.

Современное определение интеграла как предела интегральных сумм принадлежит Коши. Символ ∫ ydx было введено Лейбицем. Знак ∫ напоминает растянутую S (первая буква латинского слова SUMMA - "сумма"). Термин "интеграл" происходит от латинского INTEGER - "целый" и был предложен в 1690р. И. Бернулли.

  • Категории раздела:
  •      Другое
  • Смотрите также:
  •  


    Сайт создан в 2012 г. © Все права на материалы сайта принадлежат его автору! 
    Копирование любых материалов сайта возможно только с разрешения автора и при указании ссылки на первоисточник
    Яндекс.Метрика