Free Student HQ / FSHQ / "Штаб-Квартира свободного Студента"

Закон взаимности касательных напряжений на примере расчетов

В статье напряжения по косым сечениям был выведен закон взаимности касательных напряжений; покажем, что он справедлив в случае самого общего напряжённого состояния бруса.

1. Вырезаем из бруса (фиг. 1) в любой точке его двумя парами параллельных плоскостей элементарную призму с размерами dx и dy; перпендикулярно к плоскости чертежа размер равен единице.

2. Отбрасываем всё кроме самой призмы.

3. Заменяем действие отброшенных частей на призму силами, которые в самом общем случае сведутся к нормальным и тангенциальным силам, приложенным к граням. Ввиду бесконечно малых размеров нашей призмы можем считать, что нормальные и тангенциальные напряжения по противоположным граням равны.

4. Составляем уравнение равновесия, приравнивая нулю момент всех сил, приложенных к нашему элементу, относительно какой-либо точки, например точки А; получим:

так как все нормальные силы попарно равны по величине и противоположны по направлению, а две из тангенциальных сил проходят через точку А. Из написанного уравнения равновесия следует, что τy = ττ, т. е. подтверждается показанное нами ранее, равенство касательных напряжений по двум взаимно перпендикулярным площадкам. Из условий равновесия элемента легко установить, как могут комбинироваться между собою касательные напряжения по граням призмы. Лля этого рекомендуется читателю просмотреть изображённые на фиг. 2 четыре схемы приложения касательных напряжений по граням призмы и из условия равенства нулю момента всех сил около вершин элемента определить, которые из них невозможны.
 

Теперь уже можно полностью формулировать закон взаимности касательных напряжений:

Касательные напряжения по двум взаимно перпендикулярным бесконечно малым площадкам равны между собой по величине и направлены или оба к линии пересечения площадок, или оба от линии пересечения площадок.

На основании закона взаимности касательных напряжений можно очень просто ответить на некоторые вопросы, касающиеся выяснения величин касательных напряжений.

Легко показать, что при растяжении — сжатии в двух направлениях имеет место та же зависимость между касательным напряжением и углом сдвига, которую мы нашли в случае простого растяжения — сжатия.

Рассмотрим сначала растяжение в двух направлениях. При растяжении бруса вдоль оси х, т. е. при растяжении только в одном направлении, справедлив закон Гука, формула:

При растяжении того же бруса силами, направленными вдоль оси у, также справедлив закон Гука:

.

При растяжении в двух направлениях касательные напряжения по одной и той же площадке алгебраически складываются:

В результате мы получили опять прямую пропорциональность между касательным напряжением и относительным сдвигом. Закон Гука для касательных напряжений при растяжении (сжатии) в двух направлениях, как это видно из только что выведенной формулы, имеет ту же форму, что и при растяжении в одном направлении. Закон Гука для нормальных напряжений, как мы это покажем далее, имеет различную форму для этих двух случаев напряжённого состояния.


 

Сайт создан в 2012 г. © Все права на материалы сайта принадлежат его автору!
Копирование любых материалов сайта возможно только с разрешения автора и при указании ссылки на первоисточник.
Яндекс.Метрика